Conhecido por ter elaborado a moderna
teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de
número transfinito,
incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a
diferença entre estes dois conceitos, que colocam novos problemas
quando se referem a conjuntos
infinitos.
Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma
potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre
conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês chamam-se
countable - que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis) (em inglês
uncountable - que não se podem contar). Provou que o conjunto dos
números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos
números reais
IR é contínuo (logo, maior que o anterior). Na demonstração foi
utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal.
Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do
contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia
entre os numeráveis e os contínuos - em 1963,
Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela
teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o
símbolo 
- para representar o conjunto dos números reais.
Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de
depressão,
o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar
hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje
em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo.
A descoberta
do
Paradoxo de Russell
conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar.
Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o
seu conceito de
Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria durante a
Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram
uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da
época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o
trabalho desenvolvido por Cantor na sua teoria dos conjuntos,
reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.
- "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."
Ligações externas
Cantor nasceu em Saint-Petersburg, no dia 3 de Março de 1845, e passou a
maior parte da sua vida na Alemanha. Como desde muito cedo revelou talento e
gosto pela matemática, o seu pai decidiu que havia de ser um grande engenheiro.
Quando fez onze anos a família mudou-se para Frankfurt e Georg foi enviado para
o Instituto Superior Politécnico Grand-Ducal para estudar engenharia. Embora já sentisse não
ser essa a sua verdadeira vocação, era ainda muito
novo para se manifestar contra a vontade do pai e contrariar as ambições
que a família tinha em relação a si. No entanto, ao fim de dois anos, mais certo
das suas preferências e encorajado pelo afastamento da influência directa do
pai, escreveu-lhe a pedir autorização para se tornar matemático, autorização
que só lhe foi concedida dois anos depois quando estava já prestes a
graduar-se.
Georg ficou tão feliz que escreveu ao pai uma carta de
agradecimento em que prometia fazer tudo o que estivesse ao seu alcance para lhe
provar que merecia a confiança que em si ele depositava e para que toda a família
pudesse vir a orgulhar-se dele.
Em 1862 Georg viajou para Zurique para continuar os seus estudos, mas voltou
para casa ainda nesse ano devido à morte do pai; ingressou em Setembro na
Universidade de Berlim, para estudar Matemática, Física e Filosofia. Aí teve como professores matemáticos tão brilhantes como
Kummer,
Weierstrass e
Kronecker.
Cantor doutorou-se em 1867, tendo ficado a leccionar Matemática numa escola
privada feminina devido à falta de lugares disponíveis na universidade. Só dois
anos depois ingressou na Faculdade da Universidade de Halle, uma instituição de
ensino pouco prestigiada.
Cinco anos depois, com 29 anos de idade, casou com Vally Guttmann, de quem
teve 6 filhos; passou uma lua de mel idílica em Interlaken, na Suíça, onde
conheceu e se tornou amigo de um outro jovem matemático: Richard
Dedekind, que
dois anos antes tinha publicado a sua própria teoria sobre os irracionais.
Os
dois homens passaram muitas horas discutindo as respectivas teorias, mas ainda
mais importante do que a troca de ideias foi o encorajamento que deram um ao
outro, uma vez que ambos eram relativamente desprezados, ou pelo menos
indiferentes, ao resto da comunidade matemática e acabavam por receber a paga
que recebem todos aqueles cujas ideias são demasiado geniais para a sua época:
a relegação para posições obscuras e mal remuneradas.
Cantor publicou o seu primeiro ensaio sobre a teoria de conjuntos ainda
nesse ano. O ensaio tinha sido apresentado e aprovado meses antes, mas um dos
editores do jornal onde ele estava para ser publicado deliberadamente atrasou a
sua publicação. O editor era Leopold
Kronecker, um dos professores de Cantor
na Universidade de Berlim, e este atraso não foi apenas uma questão de desleixo
da sua parte: era um bocadinho de maliciosa censura académica e um bocado ainda
maior de ciúme profissional.
Kronecker é famoso, entre outras coisas, pela afirmação:
Deus fez os inteiros; o resto é invenção humana.
(Kronecker,
cit in Muir, 1996, p. 235, trad. livr
Ele acreditava nisto sinceramente; os números negativos, fraccionários,
imaginários e especialmente os números irracionais eram para si uma maldição,
a fonte de todos os problemas dos matemáticos, e chegou mesmo a defender que
fossem completamente banidos. Deste modo, o infinito só podia ser visto como um
processo, nunca como um número: uma entidade matemática que não pudesse ser
construída num número finito de passos não fazia sentido, a seu ver.
Como se pode constatar, os seus pontos de vista eram totalmente opostos aos
de Cantor, e Kronecker tirou partido do seu estatuto de superioridade
profissional para suprimir a heresia Cantoriana.
Mas Cantor não foi o único objecto da opressão de Kronecker. Outro matemático
da Universidade de Berlim, Weierstrass, colega de Kronecker mas oponente nas suas
ideias, foi profundamente ferido pelos seus ataques. No fim da sua carreira,
Weierstrass chegou mesmo a escrever:
Já não consigo ter o mesmo prazer que tinha antes, quando dava aulas;
Kronecker usa a sua autoridade para proclamar que todos nós, que temos
trabalhado até agora para estabelecer a teoria das funções [proximamente
relacionada com o infinito] somos pecadores perante Deus...
Tal veredicto, vindo
de um homem cujo talento eminente e o notável desempenho na investigação
matemática admiro tão sinceramente e com tanto prazer (...), é não só
humilhante... como um apelo directo às novas gerações para que abandonem os seus actuais mestres e para
que se reúnam à sua volta como discípulos
de um novo sistema que é inevitável.
Isto é verdadeiramente triste, e
provoca-me uma amarga dor, ver um homem cuja glória permanece imaculada,
deixar-se arrastar a si próprio... para proclamações de cujos efeitos
injuriosos sobre os outros parece não se aperceber.
(Weierstrass,
cit in Muir, 1996, p. 236, trad. livre
Não
se sabe ao certo até que ponto as acções de Kronecker eram motivadas
por convicções intelectuais ou por ciúmes profissionais. Certamente havia um pouco de ambas.
Mas embora Kronecker pudesse dificultar a vida a Weierstrass, não podia prejudicá-lo realmente a nível
profissional pois a sua posição era já demasiado segura para isso. No
entanto, com Cantor as coisas eram diferentes visto ser apenas um simples professor de uma
universidade pouco prestigiada.
Cantor
efectuou várias candidaturas para um cargo em Berlim, que foram sucessivamente
recusadas, graças à forte influencia exercida por Kronecker.
Cantor acreditava que todos os prejuízos que lhe foram causados tinham sido
“sistematicamente estimulados por Kronecker”
(Cantor,
cit in Muir, 1996, p. 237, trad. livre), e não eram apenas ilusões
neuróticas. Ele não foi a única pessoa a notar ser vítima de hostilidade; Minkowski, que viria a ser mais tarde professor de
Einstein, observou - sem no
entanto mencionar nomes - que:
É mesmo muito lamentável que a oposição por parte de um matemático
muito famoso, em campos não puramente matemáticos, possa estar a interferir
com os sucessos de Cantor nas suas investigações científicas.”
(Minkowski,
cit in Muir, 1996, p. 237, trad. livre)
Schoenflies foi mais incisivo nas suas acusações, notando que as teorias
de Cantor:
...encontraram aguçada oposição por parte de Kronecker. Não
estarei a passar dos limites se disser que
atitude de Kronecker foi forjada para criar a impressão de que Cantor
era, como pessoa, como matemático e como professor, um corruptor da
juventude... Cantor estava isolado e abandonado até mesmo por aqueles que ele
respeitava profundamente, até por Weierstrass.
(Schoenflies,
cit in Muir, 1996, p. 237, trad. livre)
Cerca de 1884, grande parte das teorias de Cantor tinham sido publicadas e
quase completamente ignoradas, graças à conivência de Kronecker. Uma das
poucas pessoas que não as ignorou foi um jovem
escandinavo chamado Mittag-Leffler.
Foi a ele que Cantor confessou todos os seus
problemas, escrevendo-lhe durante um ano cerca de uma carta por semana a
queixar-se da perseguição por parte de Kronecker. Mas, por essa altura, era já
demasiado tarde. Os ataques agressivos de Kronecker tinham-se tornado
insuportáveis. Cantor nunca tinha sido muito assertivo, na sua relação com o
pai sempre se submeteu docilmente, e agora mais uma vez estava a ser submetido
por outro ser humano.
Tal como todos os dominados, perdeu completamente a
sua auto-estima, ficou profundamente deprimido e perdeu toda a fé em
si próprio e no seu trabalho. Nem mesmo as palavras de Minkowski o
conseguiram animar:
As gerações futuras
vão considerar Cantor como um dos mais profundos
pensadores matemáticos desta época.
(Minkowski,
cit in Muir, 1996, p. 238, trad. livre)
Na Primavera de 1884, Cantor teve um esgotamento nervoso. Foram feitas umas
tréguas temporárias entre os dois homens e a saúde de Cantor melhorou. Em
1885 era ele próprio outra vez excepto numa coisa: nunca mais escreveu; a sua
criatividade parecia ter-se esgotado e durante o resto da sua vida só publicou
mais três ensaios.
Os ataques de Kronecker rapidamente recomeçaram, mais ferozes do que nunca:
dedicou as suas conferências a devastar as teorias de Cantor, continuou as suas
intrigas para o manter afastado em Halle, e eliminou todos os artigos de Cantor
do Crelle’s Journal, do qual era editor.
Em 1981 Kronecker morreu e a sua influência
maléfica foi desaparecendo gradualmente. Lentamente Cantor começou a receber o
reconhecimento que merecia - depois de ter esperado mais de 20 anos. Foi então
nomeado membro honorário da London Mathematical Society, eleito membro
correspondente da Sociedade de Ciências em Gottingen, e em 1904 foi homenageado
com uma medalha pela Royal Society of London.
Recordando a sua experiência recente, Cantor estava sempre pronto com uma
palavra de apreço ou encorajamento para aqueles homens que continuavam a lutar.
Em complemento fundou um jornal, o Deutsche Mathematiker-Vereinigung, como veículo
para os trabalhos de jovens investigadores que pudessem não conseguir impor-se
nos jornais controlados pelos matemáticos estabelecidos.
Para ele, no entanto o reconhecimento chegou tarde demais; a infelicidade e
amargura de tantos anos não podiam ser apagadas por um súbito jorro de fama e
glória. Respeitado por todo o mundo, sentiu-se como um estrangeiro no seu próprio
país:
Os Alemães não me conhecem,
e no entanto eu vivi entre eles durante 52 anos.
(Cantor, cit in Muir, 1996, p. 239, trad. livre)
Cantor nunca chegou a receber um posto melhor do que aquele que tinha em
Halle pois estava já demasiado velho e doente para ir para outro lugar. Os seus
ataques nervosos tornaram-se mais frequentes e mais prolongados, até ter sido
obrigado a resignar-se. Com 72 anos de idade, Georg Cantor morreu num hospital
psiquiátrico, no dia 6 de Janeiro de 1918.
"The Essence of mathematics is its freedom"
"A Essência da matemática é a sua liberdade"
Georg Cantor
Pablo Picasso
Li
Fonte:
Wikipédia, a enciclopédia livre.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/vidacantor.htm
Sejam felizes todos os seres. Vivam em paz todos os seres.
Sejam abençoados todos os seres.
