PIERRE FERMAT E AS CURVAS MARAVILHOSAS

Eu tenho uma demonstração 

realmente maravilhosa para esta proposição,

mas este doodle é muito pequeno para contê-la

Homenagem hoje do Google a Pierre Fermat

Nascimento	17 de Agosto de 1601 Beaumont-de-Lomagne
Morte	12 de Janeiro de 1665 (63 anos) Castres
Nacionalidade	Francês
Ocupação	Matemático e cientista

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 de Agosto de 1601 — Castres, 12 de Janeiro de 1665) foi um matemático e cientista francês.    

Biografia

Seu pai, Dominique de Fermat, era um rico mercador de peles e lhe propiciou uma educação privilegiada, inicialmente no mosteiro franciscano de Grandselve e depois na Universidade de Toulouse. Ingressou no serviço público em 1631. Em 1652 ele foi promovido para Juiz Supremo na Corte Criminal Soberana do Parlamento de Toulouse. Neste mesmo ano Fermat também adoeceu e chegou-se a afirmar que ele havia morrido.

A influência de Pierre de Fermat foi limitada por sua falta de interesse em publicar suas descobertas, que são conhecidas principalmente pelas cartas a amigos e anotações em sua cópia da Arithmetica, de Diofanto. Suas cartas sugerem que era um homem envergonhado e reservado, cortês e afável, mas um pouco distante. Estas cartas passaram a ser publicadas a partir de 1636, por intermédio do padre Mersenne, em Paris, que procurou Fermat após ouvir falar dele. Em suas cartas, Fermat descrevia suas idéias, descobertas e até pequenos ensaios, que eram repassados por Mersene a outros matemáticos da Europa. 

Fermat gostava de trocar e resolver desafios, por exemplo, Mersenne uma vez lhe escreveu perguntando se o número - muito grande - 100.895.598.169 era primo ou não. Tais questões geralmente levavam anos para serem resolvidas, mas Fermat replicou sem hesitação que o número era produto de 112.303 e 898.423, e que cada um desses fatores era primo. O infeliz Descartes travou polêmicas com ele diversas vezes. 

Como um estrangeiro,

Fermat não conhecia o monumental egoísmo

e a disposição melindrosa de Descartes, 

e com calma e cortesia o demoliu

em todas as ocasiões.

Fermat inventou a Geometria Analítica em 1629 e descreveu suas idéias em um trabalho não publicado intitulado Introdução aos lugares geométricos planos e sólidos, que circulou apenas na forma de manuscrito. Neste trabalho Fermat introduziu a idéia de eixos perpendiculares e descobriu as equações gerais da reta, circunferência e equações mais simples para parábolas, elipses e hipérboles, e depois demonstrou que toda equação de 1o e 2o grau pode ser reduzida a um desses tipos. 

Nada disto está no ensaio de Descartes, além de que este teve acesso à Introdução vários meses antes de publicar sua obra intitulada Geometria, de 1637.

O método de Fermat 

para determinar tangentes, 

desenvolvido por sua abordagem 

aos problemas de máximos e mínimos, 

foi ocasião de outro atrito com Descartes. 

Quando o famoso filósofo foi informado do método de Fermat por Mersenne, ele atacou sua genialidade, desafiando Fermat a encontrar a tangente à curva x^3 + y^3 = 3axy, e loucamente vaticinou que ele fracassaria. O próprio Descartes foi incapaz de resolver este problema e ficou intensamente irritado quando Fermat o resolveu com facilidade (esta curva chama-se agora folium de Descartes).

Considerado o "Príncipe dos Amadores",

Pierre de Fermat nunca teve formalmente 

a matemática como a principal atividade 

de sua vida. 

Jurista e magistrado por profissão, dedicava à Matemática apenas suas horas de lazer e, mesmo assim, foi considerado por Blaise Pascal o maior matemático de seu tempo.

Contudo, seu grande gênio matemático perpassou várias gerações, fazendo com que várias mentes se debruçassem com respeito sob o seu legado, que era composto por contribuições nas mais diversas áreas das matemáticas, as principais: cálculo geométrico e infinitesimal; teoria dos números; e teoria da probabilidade.

O interesse de Fermat pela Matemática, possivelmente, deu-se com a leitura de uma tradução latina, feita por Claude Gaspar Bachet de Méziriac, de Aritmética de Diophante, um texto sobrevivente da famosa Biblioteca de Alexandria, queimada pelos árabes no ano 646 d.C., e que compilava cerca de dois mil anos de conhecimentos matemáticos.

A matemática do século XVII estava ainda se recuperando da Idade das Trevas, portanto não é de se admirar o caráter amador dos trabalhos de Fermat. No entanto, se ele era um amador, então era o melhor deles, devido à precisão e à importância de seus estudos, que, diga-se ainda, estavam sendo realizados longe de Paris, o único centro que abrigava grandes matemáticos, mas até então ainda não prestigiados estudiosos da Matemática, como Blaise Pascal, Gassendi, Mersenne, entre outros.

Morte

Morreu em Castres, França. A mais antiga e prestigiada escola, no alto do Toulouse é nomeado após ele: o Lycée Pierre de Fermat. O escultor francês Théophile Barrau fez uma estátua de mármore chamado Homagge a Pierre Fermat.

Contribuições

As contribuições de Fermat para o cálculo geométrico e infinitesimal foram inestimáveis. Ele obtinha, com seus cálculos, a área de parábolas e hipérboles, determinava o centro de massa de vários corpos, etc. Em 1934, Louis Trenchard Moore descobriu uma nota de Isaac Newton dizendo que seu cálculo, antes tido como de invenção independente, fora baseado no “método de monsieur Fermat para estabelecer tangentes”. Foi a primeira pessoa a enunciar o pequeno teorema de Fermat, embora a primeira pessoa a publicar a prova do teorema foi Euler em 1736 no artigo "Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio".

Último Teorema de Fermat

Ver artigo principal: Último Teorema de Fermat

Contudo, o que mais interessava a Fermat, na verdade, era um ramo da Matemática chamado teoria dos números, que tem poucas aplicações práticas claras. É da teoria dos números seu famoso teorema, conhecido como Último Teorema de Fermat.

Este teorema tem um enunciado extremamente simples:

Não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaz a equação

O teorema foi escrito nas margens do Aritmética de Diofante, seguido de uma frase: “Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita para contê-la”. Aliás, escrever nas margens dos livros era um costume de Fermat e foi graças ao seu filho mais velho, Clément-Samuel, que suas anotações não se perderam para sempre. Clément-Samuel, depois de passar cinco anos recolhendo cartas e anotações de seu pai, publica em 1670, em Toulouse, a Aritmética de Diofante contendo observações de Pierre de Fermat, cuja página 61 continha o teorema.

Naturalmente, há quem duvide que ele tenha dito a verdade. Gerações inteiras de matemáticos têm amaldiçoado a falta de espaço daquela margem.

Por mais de três séculos, praticamente todos os grandes expoentes da Matemática (entre eles Euler e Gauss) debruçaram-se sobre o assunto. Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade  xⁿ + yⁿ = zⁿ não se verificou.

Assim empiricamente se comprova que Fermat tinha razão. Mas e a demonstração? Um renomado empresário e matemático alemão – Paul Wolfskehl – na noite em que decidira suicidar-se em sua biblioteca, deparou-se com o Último Teorema de Fermat, e mudou de idéia. Em seu testamento, deixou em 1906 a quantia de 100.000 marcos para quem o demonstrasse.

O teorema desafiou matemáticos por todo o mundo durante 358 anos, até que Andrew Wiles, um matemático britânico, conseguiu demonstrá-lo, primeiramente em 1993 e, depois de corrigir alguns erros apontados, definitivamente em 1995. Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avançadíssimos, com os quais Fermat nem poderia ter sonhado. Assim chega ao fim uma história épica na busca do Santo Graal da Matemática.

Teoria da Probabilidade

Outra contribuição importante de Fermat se insere na Teoria da Probabilidade. Seus avanços nesta área deram-se por volta de 1654, quando passou a trocar cartas com Pascal. A probabilidade era um assunto desconhecido por Fermat até então, que passou a objetivar descobrir as regras matemáticas que descrevessem com maior precisão as leis do acaso. Posteriormente, ambos determinaram as regras essenciais da probabilidade,

e 

Pascal chegou até mesmo

a se convencer de que poderia 

utilizar as suas teorias para justificar 

a crença em Deus.

Mais especificamente em uma carta datada de 24 de agosto de 1654, endereçada a Pascal, Fermat discute o seguinte problema: dois jogadores A e B, quando A precisa de 2 pontos para ganhar e B 3 pontos, o jogo será certamente decidido em quatro jogadas. Para saber quem tem mais chance de ganhar, o matemático escreve todas as combinações possíveis entre as letras a, que representa uma jogada em favor do jogador A e b, que representa uma em favor do jogador B:

• 01 – aaaa 09 – baaa
• 02 – aaab 10 – baab
• 03 – aaba 11 – baba
• 04 – aabb 12 – babb
• 05 – abaa 13 – bbaa
• 06 – abab 14 – bbab
• 07 – abba 15 – bbba
• 08 – abbb 16 – bbbb

Assim, sendo, em um total de 16, têm-se 11 casos favoráveis para A contra 5 favoráveis para B, visto que a ocorrência de 2 ou mais a é favorável para A e a ocorrência de 3 ou mais b para B. A solução dada por Pascal é a seguinte: suponhamos que cada um dos jogadores aposte a mesma quantia, 32 pistolas (moeda da época), aquele que tirar primeiramente três vezes, seguidas ou não, o número que aposta no dado, de 1 a 6, ganhará, num total de quatro partidas. Suponhamos também que o primeiro jogador tenha ganhado duas partidas e o segundo apenas uma. 

Como dividir, se a partida for interrompida agora, as 64 pistolas ? Pascal explica que, se o jogo terminar empatado então cada um fica com 32 pistolas, logo o primeiro jogador já as tem, porém como ele ainda pode ganhar, deve-se partilhar as outras 32 pistolas, ficando o primeiro jogador com 48 e o segundo com 16.

Este problema foi proposto por Pascal, que incitou Fermat a refletir sobre ele, Rose Ball (1960) explicita apenas mais um problema de probabilidade relacionado a Fermat, que também foi proposto por Pascal e também está relacionado com jogos, trata-se da seguinte questão: uma pessoa quer tirar 6 no dado em 8 jogadas, suponhamos que ela tenha feito 3 tentativas e falhado, quanto de dinheiro ela poderia apostar em seu sucesso, ou seja, tirar um 6, na quarta jogada?

Fermat raciocinou da seguinte maneira: a chance de se tirar um 6 no dado é de 1/6, logo ela poderia apostar 1/6 do dinheiro, não obtendo sucesso, na segunda tentativa, ela deveria apostar 1/6 do que sobrou do dinheiro, isto é, 5/36, e assim por diante, tendo que apostar na quarta tentativa 125/1296 de seu dinheiro. 

Isso ilustra o modo descompromissado com que Fermat tratava a probabilidade, resolvendo apenas os problemas que foram postulados por Pascal em suas correspondências. A maior dedicação deste matemático foi realmente a teoria dos números e vários tipos de jogos com números, os quais ele mesmo criava e desafiava os outros matemáticos a resolverem.

Outras contribuições

Coube a Fermat a entronização de eixos perpendiculares, a descoberta das equações da recta e da circunferência, e as equações mais simples de elipses, parábolas e hipérboles. Por mérito, as coordenadas cartesianas deviam denominar-se coordenadas fermatianas. 

Cartesius é a forma
latinizada de René Descartes.

Foi mais filósofo que matemático e em sua obra Discours de la Méthode (3.º apêndice, La Géométrie), publicada em 1637, se limitou a apresentar as idéias fundamentais sobre a resolução de problemas geométricos com utilização da Álgebra. 

Porém, é curioso observar que o sistema hoje denominado cartesiano não tem amparo histórico, pois sua obra nada contém sobre eixos perpendiculares, coordenadas de um ponto e nem mesmo a equação de uma reta. No entanto, Descartes "mantém um lugar seguro na sucessão canônica dos altos sacerdotes do pensamento, em virtude da têmpera racional de sua mente e sua sucessão na unidade do conhecimento. 

Ele fez soar o gongo e a civilização ocidental tem vibrado desde então com o espírito cartesiano de ceticismo e de indagação que ele tornou de aceitação comum entre pessoas educadas" (George Simmons). Segundo ainda este proeminente autor, La Géométrie "foi pouco lida então e menos lida hoje, e bem merecidamente".

Curva

Uma espiral, um exemplo simples de curva.

Em matemática, uma curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente reta. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais).

Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral, mostrada a direita. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.

O termo curve tambem tem vários significados na linguagem não matemática. Por exemplo, ele pode ser quase um sinônimo de função matemática (como em curva de aprendizado), ou gráfico de uma função (como em curva de Phillips)

Se o intervalo for fechado e as imagens dos pontos inicial e final coincidirem a curva diz-se fechada. Se a função for injectiva (exceptuando a possibilidade de a curva ser fechada), a curva diz-se simples. A curva pode ainda ser adjectivada com as propriedades adicionais que tenha a função. Por exemplo, se a função for diferenciável, a curva diz-se diferenciável, etc.

Espiral de Fermat

Espiral de Fermat.

Espiral de Fermat é uma curva estudada por Pierre de Fermat em 1636 (quando tinha apenas 25 anos).

Ela pode ser criada usando a equação polar r² = a²θ.

Hoje, alguns pesquisadores

utilizam esta forma como um modelo matemático 

da disposição das sementes nas flores.

Espiral

Na matemática, espiral é uma curva que gira em torno de um ponto central, afastando-se ou aproximando-se deste ponto, dependendo do sentido em que se percorre a curva.

Uma espiral (neste caso uma espiral logarítmica)

 Espirais bidimensionais

Uma espiral bidimensional pode ser descrita usando coordenadas polares dizendo que o raio r é uma função contínua e monotônica do ângulo. O círculo seria considerado como um caso degenerativo (a função não é estritamente monotônica, mas sim constante).

Algumas das espirais bidimensionais mais importantes são:

• A espiral arquimediana: r = a + bθ
• A espiral de Cornu ou clotóide
• A espiral de Fermat: r = θ^1/2
• A espiral hiperbólica: r = a/θ
• A espiral de Lituus: r = 1/θ^1/2
• A espiral logarítmica: r = ab^θ; aproximações dessa são encontradas na natureza
• A espiral de Fibonacci e espiral de ouro: casos especiais de espirais logarítmicas.

 Espirais tridimensionais

Como no caso das bidimensionais, r é uma função contínua monotônica de θ.

Para espirais 3D simples, a terceira variável, h (altura), também é uma função contínua, monotônica, de θ.

Por exemplo, uma hélice cônica pode ser definida como uma espiral em uma superfície cônica, com a distância ao apex uma função exponencial de θ.

Para espirais 3D compostas, tais como a espiral esférica descrita abaixo, h aumenta com θ de um lado de um ponto, e diminui com θ do outro lado.

A hélice e o vórtice podem ser vistos como tipos de espirais tridimensionais.

Para uma hélice com espessura, veja Spring.

 

Um exemplo de hélice natural, utilizada pela videira.

 

Vórtice

Um vórtex (plural: vórtices) ou vórtice é um escoamento giratório onde as linhas de corrente apresentam um padrão circular ou espiral. São movimentos espirais ao redor de um centro de rotação.

Ele surge devido a diferença de pressão de duas regiões vizinhas. Quando isso ocorre o fluido tende a equilibrar o sistema e flui para esta região mudando, eventualmente, a direção original do escoamento e, com isso, gera vorticidade.

Eles são encontrados nos mais diversos locais da natureza, como correntes circulares de água vindas de marés conflitantes, como quando se mexe uma xícara de café, uma ilha no meio do oceano, furacões, tornados ou efeitos de ponta de asa. Este último é muito estudado pela indústria aeronáutica, pois sua geração aumenta o arrasto da aeronave. 

Esse efeito recebe o nome de arrasto induzido e é minimizado pela presença de empenamentos e winglets, que dificultam o deslocamento de ar.

Vórtices de ponta de asa

 

Tecnicamente um vórtice pode ser qualquer escoamento circular ou rotacional que possui vorticidade. Vorticidade é um conceito matemático utilizado na dinâmica dos fluídos. Ela pode ser entendida como a quantidade de circulação ou rotação de um fluido por unidade de área de um ponto no campo de escoamento.

No estudos atmosféricos, vorticidade é uma propriedade que caracteriza a rotacionalidade em grande escala das massas de ar. Se a circulação atmosférica é aproximadamente horizontal, a vorticidade é aproximadamente vertical.

A direção de rotação que um vórtice adota, sentido horário ou anti-horário, depende da força que o provocou. Em condições autônomas, sofre influência da rotação do planeta, chamado força de Coriolis, e faz com que os vórtices naturais do hemisfério norte girem no sentido anti-horário, e os do hemisfério sul no sentido horário.

Rotação como mudança 

de um sistema de coordenadas para outro.

Simetria radial (binária) na flor de  

Datura stramonium (Estramónio)

 Espiral Esférica

Uma espiral esférica é a curva na esfera traçada por um navio viajando de um pólo ao outro enquanto mantém um ângulo fixo, mas não reto, em relação aos meridianos de longitude, isto é, mantendo a mesma inclinação de deslocamento. A curva tem um número infinito de revoluções orbitais, com a distância entre elas diminuindo com as aproximação da curva a qualquer um dos pólos.

Algumas curvas planas não muito populares 

 

As oito primeiras curvas a seguir foram desenhadas pela primeira vez em 1988. Foram obtidas de forma aleatória: pensava-se em uma equação qualquer e, através de um programinha feito em GWBASIC, desenhava-se o gráfico da curva. Faziam parte de um tal Álbum de Curvas Extravagantes, uma espécie de brincadeira impressa que circulava entre amigos. 

Em 1988, um intelectual seriíssimo viu o Álbum de Curvas Extravagantes e criticou-o dizendo que aquelas curvas "não serviam para nada". Discordei do intelectual dizendo que as curvas tinham propriedades muito interessantes, propriedades maravilhosas, miraculosas. No entanto, essas propriedades não são conhecidas atualmente, só serão descobertas a partir do século XXX !

As quatro últimas curvas são representantes de duas famílias famosas de curvas: as hipociclóides e as epiciclóides. 

O parâmetro t varia de 0 a 2p em quase todos os exemplos. Todos foram construídos com a versão "demo" do Maple.

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Fonte:

Wikipédia, a enciclopédia livre.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

http://mat.ufpb.br/~lenimar/cgraf/curvas.htm

Sejam felizes todos os seres. Vivam em paz todos os seres.

Sejam abençoados todos os seres.